Авторы: 147 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги:  180 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


загрузка...

«Дилемма заключенного» в бесконечно повторяющейся игре

Рассмотрим теперь, каким образом парадокс Бертранадилемма заключенного»)

может быть разрешен в бесконечно повторяющейся игре.

Для начала рассмотрим парадокс Бертрана в терминах теории игр.

Если взаимодействие двух фирм продолжается один период времени, то игра

приобретает характер «дилеммы заключенного». Возможные комбинации стратегий

фирм и получаемых ими выигрышей представлены на рис. 8.1.

Стратегии фирмы 2

низкая цена высокая цена

Стратегии фирмы 1 низкая цена (π4; π4) (π2; π3)

высокая цена (π3; π2) (π1,; π1,)

Рис. 8.1. Матрица ценовой игры в модели Бертрана

Фирмы могут выбирать стратегии низкой или высокой цены и получать

соответственно результаты (прибыли) такие, что:

π2 > π1 > π4 > π3

Отсюда следует, что доминирующей стратегией для каждой фирмы будет

стратегия «назначать низкую цену», следовательно, равновесие рынка с низкими

ценами будет служить равновесием по Нэшу в неповторяющейся игре.

Что произойдет с выбором фирм, если игра (их взаимодействие) продолжается

бесконечно долго?

Доминирующими в этой игре могут быть по крайней мере две стратегии. (В

действительности в бесконечно повторяющейся игре стратегий может быть гораздо

больше, однако доминирующими могут быть в разных условиях только эти две.)

1. Стратегия «руки, дрожащей на курке» - назначить высокую цену в момент t,

если другая фирма назначила высокую цену в момент (t- 1); и назначить низкую цену в

противном случае.

2. Стратегия «хищничества» - назначать низкую цену в любой момент времени.

Максимальный выигрыш каждой фирмы в результате применения первой

стратегии с учетом дисконтирования равен:

π1

PV(π)1 = π1+ π1ρδ+ π1ρ2δ2+ = ———

1 – ρδ

где π1 - прибыль, полученная фирмой, назначающей высокую цену, при условии,

что _другая фирма также назначает высокую цену;

δ - дисконтирующий множитель, связанный со ставкой дисконтирования: δ =

l/(l+i), i - ставка дисконтирования;

ρ - вероятность в момент времени t того, что фирмы будут взаимодействовать в

момент (t+1) - вероятность продолжения игры в будущем.

Максимальный выигрыш фирмы от применения второй стратегии равен:

π1

PV(π)2 = π2+ π4ρδ+ π4ρ2δ2+ = π2 π4 ———

1 – ρδ

где π2 – прибыль, полученная фирмой, назначающей низкую цену,

при условии, что другая фирма назначает высокую цену;

π4 - прибыль, полученная фирмой, назначающей низкую цену,

при условии, что другая фирма назначает низкую цену.

Выбор оптимальной стратегии фирмы, таким образом, зависит от соотношения

значений выигрышей по каждому из возможных вариантов.

Если PV(p)1 > PV(p)2, то есть если

π π4

——— > π2 π4 ———

1 – ρδ 1 – ρδ

π2 π1

ρδ > ———

π2 π4

то стимулов вести ценовую войну у фирм не будет.

Следовательно, выбор стратегии «ценовой войны» или «ценового мира» зависит

как от объективных факторов - вероятности продолжения взаимодействия фирм в

будущем, так и от субъективных факторов - межвременных предпочтений фирм.

Модель _____Бертрана с дифференцированным продуктом

Стандартная модель Бертрана предполагает совершенную заменимость товаров

двух фирм. Однако фирмы могут производить и разнородную (дифференцированную)

продукцию.

Предположим, что спрос на товар каждой фирмы описывается следующим

уравнением:

Qdi(Pi, Pj) = а - bРi + dPj

где Pi - цена, назначаемая данной фирмой;

Pj - цена фирмы-конкурента (i, j = 1,2; i j), причем 0<d<b и а> AC(b-d).

Пусть издержки на единицу товара у обеих фирм идентичны, постоянны и равны

АС.

Здесь мы видим, что товары двух фирм - фирмы i и фирмы j -служат

несовершенными заменителями друг друга. Прямая ценовая эластичность спроса на

товар отрицательна, перекрестная эластичность спроса на товар положительна (что

следует из знаков коэффициентов при ценах). Если цена Pi достаточно велика по

сравнению с ценой Pj, то объем спроса на товар i-й фирмы равен нулю. Однако при

небольшой разнице цен, даже если цена конкурента превышает цену данной фирмы,

какая-то часть покупателей останется верна данному товару благодаря приверженности

марке.

Условие d < b означает, что если цены товаров обеих фирм вырастут на

бесконечно малую величину ε, объем спроса на оба товара сократится. Условие а >

AC(b-d) означает, что если обе фирмы назначат цены на уровне предельных издержек,

объемы спроса на их товары будут положительными.

Определим результат такого взаимодействия фирм, то есть найдем набор цен (Pi*,

Р2*), такой, что Pi* обеспечивает максимизацию прибыли π = (Pi - AC) Qd(Pi, Pj); i = 1,

2; j i.

Пойдем стандартным путем, вычисляя для любого Pj функцию реакции i-й

фирмы, максимизирующую (Pi - AC)Qd(Pi, Pj).

Пусть Ri(Pj) - функция реакции фирмы на цену конкурента. Для

рассматриваемого нами примера функция реакции будет иметь вид:

a + dPj + bAC

Ri(Pj) = —————————; i=l. 2; j i.

2b

Мы знаем, что функции реакции обеих фирм симметричны. Решив систему из

двух уравнений - функций реакций фирм, - получим следующий результат:

а + bAC

Pi* = ——————; i = 1, 2; j i

2b - d

При такой комбинации цен двух фирм они будут получать положительную

прибыль, так как

a + AC(b-d)

Р* - АС = ——————— > 0,

2b-d

то есть разница между равновесной ценой и предельными (и средними)

издержками положительна для каждой фирмы.

Итак, мы видим, что дифференциация продукта смягчает ценовую конкуренцию,

так что соперничество фирм не ведет к полному исчезновению их прибылей. В

рассмотренной модели уровень дифференциации продукта был заданной величиной.

Между тем в большинстве случаев производители сами выбирают степень

дифференциации продукта. Исследовав модель ценовой конкуренции Бертрана с

дифференцированным продуктом, мы интуитивно можем прийти к выводу о том, что

оптимальный уровень продуктовой дифференциации в условиях олигополии отличен

от нуля. Аналогичный результат был бы получен в моделях Хотеллинга и Салопа (см.

главу 6).