Авторы: 147 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги:  180 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


загрузка...

7.2. Дуополия Штакельберга или модель количественного лидера

В данной модели один из производителей первым устанавливает свой объем

производства, исходя из условий максимизации своей прибыли и учитывая реакцию

второго производителя.

Таким образом, в данной модели одна фирма является лидером в определении

объема продаж, что дает ей стратегическое преимущество. Второй производитель (или

несколько фирм-последователей) устанавливает свой объем выпуска после того, как

решение об объеме производства примет его конкурент. Его уровень выпуска

определяется функцией реакции, т.е. принятие решения последователем идентично

поведению фирм в модели Курно.

Рассмотрим процесс ценообразования и установления объемов выпуска в данной

модели на числовом примере.

Числовой пример 7.2.

На рынке дуополии отраслевой спрос представлен функцией Р = 50 0,25Q. Функции

затрат производителей имеют вид:

TC1 = 10 + 0,15Q 2

1

TC 2 = 25 + 10Q 2 .

Найдем равновесные объемы выпусков каждой фирмы и цену на рынке, если данные

фирмы взаимодействуют в условиях дуополии Штакельберга.

Решение.

Запишем условие максимизации прибыли для первого производителя:

π1 = TR1 - TC1 = P·Q1 - (10 + 0,15Q 2

1 ) = [(50 – 0,25(Q1 + Q 2 ))·Q1 - (10 + 0,15Q 2

1 )] max,

где Q 2 - объем выпуска последователя – второго производителя.

Для того чтобы учесть реакцию второго производителя, найдем его уравнение реакции:

π 2 = TR 2 - TC 2 = (50 – 0,25(Q1 + Q 2 ))·Q2 - (25 + 10Q 2 ) =

= 50Q 2 - 0,25Q1 ·Q2 - 0,25Q22

- 25 - 10Q 2 = 40Q 2 - 0,25Q1 ·Q2 - 0,25Q22

- 25.

2

1 2 ( , )

Q

Q Q

∂π

= 40 – 0,25Q1 - 0,5Q 2 = 0 0,5Q 2 = 40 – 0,25Q1 .

Отсюда уравнение реакции: Q 2 = 80 – 0,5Q1 .

Теперь это уравнение реакции второго производителя подставим в функцию прибыли

первого производителя:

(50 – 0,25(Q1 + Q 2 ))·Q1 - (10 + 0,15Q 2

1 ) = 50Q1 - 0,25Q 2

1 - 0,25Q1 ·(80 – 0,5Q1 ) – 10 – 0,15Q 2

1 =

= 50Q1 - 0,25Q 2

1 - 20Q1 + 0,125Q 2

1 - 10 – 0,15Q 2

1 = [-0,275Q 2

1 + 30Q1 - 10] max

-0,55Q1 + 30 = 0 Q1 = 30/0,55 = 54,55

Q 2 = 80 – 0,5Q1 = 52,73

Цена на рынке будет равна Р = 50 – 0,25(54,55 + 52,73) = 23,18.

Подсчитаем прибыль каждого участника дуополии:

π1 = TR1 - TC1 = P·Q1 - TC1 = 23,18·54,55 – (10 + 0,15·(54,55) 2 ) = 1264,47 – 456,36 = 808,11

π 2 = TR 2 - TC 2 = Р·Q2 - TC 2 = 23,18·52,73 – (25 + 10·52,73) = 1222,28 – 552,3 = 669,98

Картельное соглашение

Теперь рассмотрим (на том же самом примере) ситуацию, когда два производителя на рынке

дуополии объединились в картель. Картель – пример согласованной координации, когда

фирмы максимизирую общую прибыль, т.е.

π(Q1 , Q 2 ) max

Для наших исходных данных получаем:

π(Q1 , Q 2 ) = (50 – 0,25(Q1 + Q 2 ))·(Q1 + Q 2 ) - (10 + 0,15Q 2

1 ) – (25 + 10Q 2 ) =

= (50 – 0,25Q1 - 0,25Q 2 )·(Q1 + Q 2 ) - 10 - 0,15Q 2

1 - 25 - 10Q 2 =

= 50Q1 - 0,25Q 2

1 - 0,25Q 2 ·Q1 + 50Q 2 - 0,25Q1 ·Q2 - 0,25Q22

- 35 – 0,15Q 2

1 - 10Q 2 =

= (-0,4Q 2

1 + 50Q1 - 0,5Q1 ·Q2 + 40Q 2 - 0,25Q22

- 35) max

1 Q

∂π

= -0,8Q1 + 50 - 0,5Q 2 = 0

2 Q

∂π

= -0,5Q1 + 40 – 0,5Q 2 = 0

Решив эту систему уравнений, получим: Q1 = 33,33; Q 2 = 46,67.

Цена на рынке будет равна: Р = 50 – 0,25(46,67 + 33,33) = 30.

Прибыль каждого участника картеля составит:

π1 = 30·33,33 – (10 + 0,15·(33,33) 2 ) = 999,9 – 176,63 = 823,27

π 2 = 30·46,67 – (25 + 10·46,67) = 1400,1 – 491,7 = 908,4.

Мы видим, что от объединения в картель выиграл второй производитель, т.к. прибыль у него

теперь больше, чем у первого первоизводителя.

Следует отметить, что в случае картельного объединения задача становится аналогичной

монополии с несколькими заводами, поэтому требование максимизации общей прибыли в

виде π(Q1 , Q 2 ) = [P(Q)·Q - TC1(Q1 ) - TC 2 (Q 2 )] max эквивалентно условиям:

MR(Q) = MC1(Q1) = MC 2 (Q 2 ), где Q = Q1 + Q 2 .

В числовом примере, рассмотренном выше, MR(Q) = 50 – 0,5Q = 50 – 0,5(Q1 + Q 2 ).

Получаем уравнения:

50 – 0,5(Q1 + Q 2 ) = 0,3Q1

50 – 0,5(Q1 + Q 2 ) = 10

Очевидно, что решение в точности соответствует полученному ранее.

Если в картель объединяются фирмы с различными функциями издержек, то такое

объединение не будет устойчивым. Координация решений в виде картельных соглашений

приносит успех олигополистам в том случае, если они имеют одинаковые или мало

различающиеся функции издержек.