Авторы: 147 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги:  180 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


загрузка...

Стационарное состояние.

Определим стационарное состояние в рассматриваемой модели, как

ситуацию, в которой капитал на одного рабочего является неизменным: k& 0 .

Стационарная величина капиталовооруженности k* определяется из условия:

(13) sf ( k*) ( n )k * .

Поскольку капиталовооруженность в стационарном состоянии неизменна, то

производительность труда и потребление на одного работника также постоянны и

равны: y*=f(k*), c*=(1-s)f(k*), соответственно. Это значит, что запас капитала,

выпуск и потребление в стационарном состоянии растут с тем же темпом, с

которым растет население.

Стационарное состояние в модели Солоу можно изобразить графически. По

нашим предположениям производственная функция f(k) вогнута и выходит из нуля.

Кроме того, наклон f(k) в нуле равен бесконечности, а при больших k кривая f(k)

становится пологой. Инвестиции, необходимые для поддержания постоянной

капиталовооруженности, (n+-)k изображены прямой линией, выходящей из нуля

под углом, равным (n+-). Если первоначально экономика имеет

капиталовооруженность k0, то валовые инвестиции на одного работника (i) для этой

экономики будут равны сбережениям в точке k0. Чистые инвестиции на одного

работника соответствуют расстоянию между кривой сбережений sf(k) и линией

необходимых инвестиций (n+-)k. Потребление на душу население с соответствует

вертикальному отрезку между производственной функцией и функцией

сбережений.

Точка пересечения кривой сбережений и кривой необходимых инвестиций

определяет стационарный уровень капиталовооруженности k*. Заметим, что

стационарное состояние при положительной капиталовооруженности существует,

поскольку функция f(k) вогнута, выходит из нуля и удовлетворяет следующим

условиям: 

Рисунок 1. Стационарное состояние в модели Солоу.

Золотое правило накопления капитала.

Из уравнения для стационарного состояния (13) следует, что при изменении

нормы сбережения изменяется и стационарная капиталовооруженность, а,

соответственно, меняется и стационарное потребление на душу населения. Как

изменяется потребление при изменении нормы сбережения? Ответ на этот вопрос

зависит от первоначального состояния экономики. Стационарное потребление на

душу населения растет с ростом s при низких нормах сбережения и падает при

высоких. При какой норме сбережения стационарное потребление c будет

максимальным?

Стационарное потребление на душу населения мы находим как разницу

между доходом и сбережениями: c*=f(k*(s))-sf(k*(s)). Учитывая, что

sf(k*)=(n+-)k*, находим:

(14) c*=f(k*(s))-(n+-)k*(s).

Максимизируя (14) по s, находим: [ f ( k*) −( n )] dk * / ds 0. Поскольку

dk * / ds 0 , то выражение в скобках должно быть равно нулю.

Капиталовооруженность, при которой выражение в скобках равно нулю будем

называть капиталовооруженностью, соответствующей золотому правилу и

обозначим через k g :

(15) f ( k g ) n . ′

Условие 15, определяющее стационарный уровень k, максимизирующий

стационарное потребление c, называют золотым правилом накопления капитала.

Таким образом, норма сбережения, обеспечивающая максимальную величину

стационарного потребления на душу населения может быть найдена из условия:

f ( k )

s ( n )k g

g

g 

, где

k g - решение уравнения (15). Итак, если мы будем поддерживать одинаковый

уровень потребления для всех живущих ныне и для всех будущих поколений, то

есть, если мы будем поступать с будущими поколениями так, как мы хотели бы,

чтобы они поступали с нами, то c g f ( k g ) −( n )k g – это максимальный

уровень стационарного потребления на душу населения, который мы можем

обеспечить.

Проиллюстрируем золотое правило графически. Норма сбережения sg на

рисунке 2 соответствует золотому правилу, поскольку стационарный капитал kg

таков, что наклон f(k) в точке k g равен (n+-). Как видно из рисунка при

увеличении нормы сбережения до s1 или снижении до s2 стационарное

потребление на душу населения падает по сравнению с c g : c g c1 и c g c2 .

Если норма сбережения в экономике превышает s g и, соответственно

стационарная капиталовооруженность выше, чем при золотом правиле, то

распределение ресурсов в такой экономике динамически неэффективно. Снизив

норму сбережения до s g , можно было бы достигнуть не только повышения

потребления на душу населения в долгосрочном периоде, т.е. роста стационарного

c, но и в процессе перехода от стационарной капиталовооруженности k 1 к k g

потребление на душу населения было бы выше, чем в исходном состоянии.

Схематично изменение потребления на душу населения изображено на рисунке 3.

В момент снижения нормы сбережения 0 t потребление на душу населения резко

растет, а затем монотонно падет до величины c g . С учетом того, что c g c1 ,

получаем, что даже в течение перехода к новому стационарному состоянию

экономика в каждый момент времени имеет более высокое потребление на душу

населения, чем исходный уровень c1 . Таким образом, экономика с нормой

сбережения, превышающей s g , сберегает слишком много и в силу этого

распределение ресурсов является динамически неэффективным.

cg

c1

t0 время, t

c

Рисунок 3. Динамика потребления на душу населения при снижении нормы

сбережения c уровня s′до величины s g .

Если норма сбережения в экономике меньше s g , то, увеличив норму

сбережения до s g , можно было бы достигнуть более высокой стационарной

капиталовооруженности, но в переходный период потребление было бы ниже, чем

в настоящий момент. Таким образом, в данном случае нельзя однозначно

утверждать, что подобное распределение ресурсов неэффективно, поскольку все

зависит от того, как общество ценит будущее потребление относительно текущего,

то есть, от межвременных предпочтений.

Экономический рост: долгосрочная динамика и переходный период.

Как следует из анализа модели Солоу, поскольку в стационарном состоянии

капиталовооруженность постоянна, то и производительность труда также будет

постоянна, то есть, долгосрочный рост выпуска не зависит от экзогенных

параметров таких, как норма сбережения, норма амортизации, а определяется

исключительно темпом роста населения. Однако эти экзогенные параметры влияют

на производительность труда в переходный период, то есть, при движении к

стационарному состоянию.

Рассмотрим, чем же определяется темп роста капиталовооруженности на

равновесной траектории, описываемой уравнением накопления капитала. Поделив

обе части уравнения (12) на k, найдем уравнение для темпа роста

капиталовооруженности:

(16) k& / k sf ( k ) / k −( n ) .

Изобразим динамику модели Солоу, описываемую уравнением (16)

графически. Заметим, что sf(k)/k убывает по k. Расстояние между кривыми sf(k)/k и

(n+-) по вертикали равно темпу роста капиталовооруженности. В точке

пересечении кривых sf(k)/k и (n+-) темп роста капиталовооруженности равен

нулю, то есть мы находимся в стационарном состоянии k*. Справа от k* темп роста

капиталовооруженности отрицателен, а слева- положителен.

Рисунок 4. Динамика темпа роста капиталовооруженности в модели Солоу.

Заметим, что динамика темпа роста производительности труда аналогична

динамике темпа роста капиталовооруженности, поскольку

y / y f ( k ) k / f ( k ) [ kf ( k ) / f ( k )] k / k s k / k k

& ′& ′& & .

Сравнительная статика модели Солоу.

Анализируя стационарное состояние модели Солоу, можно заключить, что

стационарная капиталовооруженность зависит от следующих экзогенных

параметров: нормы сбережения, нормы амортизации и темпов роста населения.

1. Изменение нормы сбережения.

Если государству удастся каким-либо образом добиться повышения нормы

сбережения, то график функции sf(k)/k сдвинется вверх и стационарный капитал

возрастет, как показано на рисунке 5.

2 k

( k& / k ) 0

s f ( k ) / k 1

k

s f ( k ) / k 2

1 k

n 

Рисунок 5. Изменение капиталовооруженности в результате повышения

нормы сбережения от 1 s до 2 s .

Как экономика движется к новому уровню стационарной

капиталовооруженности 2 k ? Как следует из рисунка 5, за повышением нормы

сбережения следует скачок в темпе роста капиталовооруженности, затем по мере

увеличения капиталовооруженности расстояние между кривыми sf(k)/k и (n+-)

сокращается и устремляется к нулю. Таким образом, сразу вслед за повышением

нормы сбережения темп роста капитала становится выше темпа роста населения, а

по мере приближения к новому стационарному состоянию темпы роста K и L вновь

сближаются.

На основе проведенного анализа можно заключить, что изменение нормы

сбережения не оказывает влияние на долгосрочные темпы роста выпуска, но влияет

на темпы роста в процессе движения к стационарному состоянию. Так увеличение

нормы сбережения приводит к резкому повышению темпов роста

производительности труда, однако, по мере приближения к стационарному

состоянию этот эффект сходит на нет.

2. Изменение темпов роста населения.

В результате повышения темпов роста населения стационарная

капиталовооруженности будет падать, то есть, в терминах рисунка 6 последствия

могут быть представлены как переход из 1 k в 2 k .

2 k

( k& / k ) 0

sf ( k ) / k

k

1 k

1 n

2 n

Рисунок 6. Изменение капиталовооруженности в результате увеличения

темпа роста населения от 1 n до 2 n .

Таким образом, процесс перехода к новому стационарному состоянию будет

сопровождаться резким падением темпов роста капиталовооруженности с

последующим медленным восстановлением до исходного уровня. Аналогична и

динамика производительности труда. Темп роста производительности труда

сначала станет отрицательным, а затем будет расти, пока не вернется к нулевой

отметке, при этом темп роста самого выпуска в новом стационарном состоянии

будет выше, чем в первоначальном, как показано на рисунке 7.

Рисунок 7. Динамика темпа роста выпуска при увеличении темпа роста

населения с n1 до n2.

Абсолютная и относительная конвергенция.

Согласно уравнению накопления капитала, стационарный капитал

определяется из условия: sf ( k*) ( n )k * . Это означает, что, если мы

рассмотрим группу стран с одинаковыми нормами сбережения, нормами

амортизации, темпами роста населения и одинаковыми технологиями, то для них

стационарная капиталовооруженности также будет одинакова. Если при этом, в

настоящий момент эти страны имеют различные стартовые позиции, то есть,

различаются по величине текущей капиталовооруженности, то это означает, что

страны с более низким начальным k будут иметь более высокие темпы роста k,

поскольку:

Это означает, что страны с более низкой капиталовооруженностью в силу более

высоких темпов роста будут догонять страны с более высокой

капиталовооруженностью, то есть будет иметь место абсолютная конвергенция.

Однако эмпирические данные не подтверждают этой гипотезы. Проблема состоит в

том, что в действительности страны существенным образом различаются по

темпам роста населения и технологиям. В связи с этим каждая страна будет

характеризоваться своим, отличным от других стран, уровнем стационарной

капиталовооруженности и потому уместнее рассматривать относительную

конвергенцию. Относительная конвергенция предполагает, что экономика растет

тем быстрее, чем дальше находится от своего стационарного состояния.

Модель Солоу с трудосберегающим техническим прогрессом.

До сих пор мы предполагали, что уровень технологии остается неизменным.

В результате все переменные в расчете на одного работника в долгосрочном

периоде оказались неизменными. Подобные выводы крайне нереалистичны и

противоречат эмпирическим фактам экономического роста, обсуждаемым в начале

лекции. Так, в частности, из анализа модели с неизменной технологией мы

получили, что капиталовооруженности и производительность труда в

долгосрочном периоде должны быть постоянны, в то время как эмпирические

исследования говорят о том, что обе эти переменные растут.

Посмотрим, поможет ли учет технического прогресса сделать модель более

адекватной действительности. Однако сначала нужно решить, каким именно

образом учитывать технический прогресс в модели. Принято различать

трудосберегающий, капиталосберегающий и нейтральный (по Хиксу) технический

прогресс. Нейтральный по Хиксу технический прогресс позволяет произвести тот

же выпуск с меньшими затратами как капитала, так и труда, не изменяя пропорции

между используемыми факторами: Y=F(K,L,A)=AF(K,L), где А- параметр,

характеризующий технологию. Трудосберегающий технический прогресс может

быть описан следующей производственной функцией: Y=F(K,L,A)= F(K, AL).

Капиталосберегающий технический прогресс ведет к такому же росту выпуска, как

и рост используемого капитала: Y=F(K,L,A)= F(АK, L).

Если мы будем рассматривать постоянный темп технического прогресса, то

есть будем полагать, что A& / A ≡g , то из всех рассмотренных нами вариантов

технического прогресса только трудосберегающий технический прогресс

совместим с существованием стационарного состояния в модели Солоу. Таким

образом, поскольку нас интересует достижение в долгосрочном периоде

стационарного состояния, мы будем рассматривать только этот вид технического

прогресса.

Перепишем условие равновесия (10) для модели Солоу, включив во

внимание наличие технического прогресса: K K sF( K ,A L ) t t t t & . При

трудосберегающем техническом прогрессе с течением времени каждый работник

становится эффективнее. Перейдем от абсолютных показателей в уравнении (10) к

показателям на одну эффективную единицу труда, поделив обе части этого

уравнения на AtLt:

(18) 



,1

A L

K

sF

A L

F( K ,A L )

s

A L

K

A L

K

t t

t

t t

t t t

t t

t

t t

&

.

Обозначим через kA-K/AL и yA=Y/AL капитал и выпуск на единицу эффективного

труда, соответственно. С учетом введенных обозначений получаем:

Уравнение (19) описывает накопление капитала при наличии трудосберегающего

технического прогресса.

Определим стационарное состояние, как состояние, в котором капитал на

единицу эффективного труда постоянен: k 0 A & , тогда стационарный капитал

*

A k определяется из условия: *

A

*

A sf ( k ) ( n g )k . В стационарном состоянии

капитал на одного эффективного рабочего A k постоянен, откуда следует, что

y f ( k ) A A и A A c (1 −s )y также постоянны. Это означает, что

капиталовооруженность k, равная A Ak , а также c и y в стационарном состоянии

растут с постоянным темпом, равным темпу технического прогресса g. При этом

запас капитала и уровень выпуска (K и Y) в стационарном состоянии растут с

темпом (n+g). Заметим, что, как и ранее, другие экзогенный параметры (норма

сбережения, норма амортизации, производственная функция) влияют лишь на

траекторию перехода к стационарному состоянию и стационарный капитал, но не

влияют на темпы роста в стационарном состоянии.

Таким образом, долгосрочный темп экономического роста (рост выпуска на

душу населения при полной занятости) согласно модели Солоу определяется

исключительно темпом технического прогресса.

Проанализируем, насколько приблизилась модель к объяснению

эмпирических закономерностей роста при введении в рассмотрение

технологического прогресса. Заметим, что теперь капиталовооруженность и

производительность труда в долгосрочном периоде не являются постоянными, а

растут с постоянным темпом, что полностью соответствует описанным Калдором

эмпирическим закономерностям.

Что касается отдачи на факторы производства, то и в этом вопросе

полученные из анализа модели результаты согласуются с эмпирическими

исследованиями, поскольку отдача на капитал является постоянной, а отдача на

труд растет. Для того, чтобы в этом убедиться рассмотрим отдачу на капитал в

стационарном состоянии. Предельный продукт капитала определяется как

образом, отдача на капитал в стационарном состоянии равна f ( k* )

′A и является

постоянной в силу неизменности *

A k . Теперь найдем отдачу на труд. Предельный

продукт труда может быть выражен через A k :

Таким образом, учитывая, что A k в стационарном состоянии неизменен, а параметр

А растет с постоянным темпом g, то и предельный продукт труда будет расти с

постоянным темпом, равным g.