Авторы: 147 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги:  180 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


загрузка...

2.3. Иллюстрация построения приближенно  оптимального портфеля инвестора

Рассмотрим модель рынка и инвестора, в основе которой лежат

предположения и конструкции примеров 2 и 3 из работы [2]. В них

для инвестора и рынка используются распределения вероятностей

цены актива, относящиеся к одному и тому же типу, а именно к час-

то используемому на финансовых рынках (см., например, [4]) дву-

стороннему двухпараметрическому экспоненциальному распределе-

нию Exp(_,_) с произвольным параметром _ и _ > 0:

_ _

_

_

_ _

_

_

_

                 _

               

_

 

x

f x exp

2

1

( ) , x_ R , (36)

при этом распределения вероятностей для инвестора и рынка будут

различаться параметрами.

Как следует из изложения приведенной выше теории, в данной

работе для нас важны не сами распределения, а цены опционов

(колл и пут), как для рынка, так и для инвестора. Но вычисляться эти

цены должны именно по этим распределениям.

Снова для упрощения записи математические ожидания обоих

распределений принимаются равными нулю (_ = 0), что никак не

влияет на содержательность результатов, так как имеет значение

лишь взаимное расположение распределений на оси цен.

Стоимость опциона колл для распределения с плотностью (36),

где _ = 0, составляет

29

_ _

_

_

_ _

_

_

_ _ _

_

_

_

_ _

_

_

               

                                 _ E E

E

C E exp

2

1

( ;0, ) . (37)

Предположим теперь (как и в [2]), что рынку отвечает распре-

деление Exp(0,1), а инвестору . Exp(0,_), причем _ < 1.

Будем предполагать, что на рынке присутствуют опционы для

нечетного числа страйков n = 2m + 1, из них один страйк располо-

жен в нуле, m страйков лежат левее нуля, отстоя друг от друга (на-

чиная с нуля) на h, и m страйков . симметрично правее нуля. В на-

шем примере в силу симметрии в качестве исходного множества ин-

дексов страйков удобнее принять I’ = {.m,.,.1,0,1,.,m}. Тогда

множество "внутренних" индексов I = {.m+1,.,.1,0,1,.,m.1}, а

множество I_ = {1,2,.,2m.1}. Страйку, который разделяет рыноч-

ные коллы и путы и являющийся единственным, с которым на рынке

торгуются и те, и другие, естественно приписать индекс a = 0.

Тогда в соответствии с (37) для всех i  I’ и i _ 0

Cm _i_ Pm _ i_ _ ih_ _ _ _ exp _

2

1

,

_ _ _ _ _ _

_

_

_ __

_

_

_

_

                 _             C i P i ih t t exp

2

.

Хотя рассматриваемые распределения вероятностей являются

хорошей аппроксимацией реально наблюдаемых на рынке распреде-

лений, трудно ожидать, что рыночные цены опционов будут столь

строго отвечать данному симметричному распределению. Однако

для нас пример интересен как иллюстративный.

В соответствии с процедурой построения "оптимального"

портфеля инвестора составим вторые разности цен опциона для

рынка и инвестора и с их помощью отношение правдоподобия, а

затем упорядочим эти отношения для разных страйков по убыва-

нию. Так мы получим способ определения последовательности вло-

женных друг в друга множеств Xk, на дополнении к которым следует

проверять ограничения критерия VaR.

Несложные выкладки позволяют получить из (19), (20), (21)

равенства

_ _ exp_ __exp_ _ exp_ _ 2_

2

~ 1

2

_ _ h i h _ _ h _

h

fm i , i_I \ _0_,

а из (24) .

_ _ _ _ h__

h h

fm _ _ 1_ exp _

1 1

~ 0

2 .

Аналогично для оценок плотности вероятности инвестора имеем

_ _ _

_

_

_

_ _

_

_

_ _ _

_

_

_ __

_

_

_              _ _

_

_

_ __

_

_ _

_

_

_

_ _

_

_

_

_

_

 exp exp exp 2

2

~

2

h i h h

h

ft i , i_I \ _0_, (38)

и

_ _ _

_

_

_

_ _

_

_

_ __

_

_ __

_

_

_ _

_

                 _ h

h h

ft 1 exp

1

~ 0

2 . (39)

Следующим шагом определения "оптимального" портфеля ин-

вестора будет упорядочение всех "внутренних" страйков i  I по

убыванию отношения правдоподобия. Применяя отношение правдо-

подобия (27) к рассматриваемому примеру, видим, что два наи-

больших (совпадающих между собой) значения это отношение при-

нимает при i = _(m.1), следующие по убыванию два значения (они

также совпадают между собой) оно принимает при i = _(m.2) и т.д.,

наименьшее . при i = 0.

Составим упорядоченный набор, который будет означать ре-

зультат применения отображения _ к набору I_:

__1,2,_ ,2m _1__ __ m _ 1,m _1, _ m _ 2,m _ 2,_ ,_1,1,0_. (40)

По нему очевидным образом восстанавливается обратное ото-

бражение _:

31

_ _

_1,3, ,2 3,2 1,2 2, ,4,2_.

1, , 1,0,1, , 1

_ _

_ _

_ _ _ _

_ _ _ _ _ _

m m m

m m

В силу равенства отношения правдоподобия в симметричных

относительно нуля точках отображение _ может быть выбрано не-

единственным способом. Для определенности здесь принимается,

что при равенстве отношения правдоподобия в двух точках отрица-

тельному страйку приписывается меньший номер в наборе I_.

Теперь определяется система множеств

X k _ (1), (2),..., (k)_ _ _ _ _ , k _I_ ,

т.е. для каждого k  I_ в качестве множества Xk принимается сово-

купность первых k элементов набора в правой части (40).

Далее по оценкам плотности вероятности инвестора определя-

ются коэффициенты Bk. Но для этого сначала необходимо задаться

функцией критических доходов B(). Ее можно взять, например, в

виде

_ _ _ _ _ B _ _ 1_ _ A_ , _ _ _ _ , _ > 0. (42)

С функцией B() такого типа мы имели дело в примере 3 рабо-

ты [2]. Данный конкретный вид она приобретает в том случае, когда

все ресурсы инвестора идут на выполнение неравенств (29), и на

максимизацию среднего дохода инвестиционных возможностей у

него не остается, а также b2 = 0. Используя формулы (38) и (39) оце-

нок плотности вероятности инвестора для разных страйков, по фор-

муле (30) определяем "вероятности" k. Имеем

 

Применяя равенства (31) и (42), получаем последовательно ве-

совые коэффициенты портфеля инвестора Bk

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Bk B k 1 A k , k _I_ .

Нам остается воспользоваться представлением портфеля (35), а

также отображением _ (41). В результате мы получаем окончатель-

но представление "оптимального" портфеля инвестора в виде

Приведение полной формулы ввиду ее громоздкости здесь не-

целесообразно. Фактически, мы построили алгоритм нахождения

весовых коэффициентов "оптимального" портфеля, сформировав его

последовательными шагами. Последующее использование вычисли-

тельной техники превращает интересующую инвестора проблему в

разряд технической.

Стоит отметить следующее свойство полученного портфеля.

Несмотря на то, что плотности вероятности инвестора и рынка для

цены базового актива симметричны относительно нуля, "оптималь-

ный" инструмент такой симметрией уже не обладает. Действитель-

но, коэффициенты при путах и коллах с симметричными относи-

тельно нуля страйками не совпадают между собой.

Однако определенная симметрия все же сохраняется. Дело в

том, что неоднозначность построения последовательности системы

множеств {Xk, kI_} такова, что для каждой такой системы найдется

другая, получающаяся из первой зеркальным отражением относи-

тельно нуля. Соответственно "оптимальным" в нашем примере бу-

дет не только портфель (43), но и портфель, получающийся из него

зеркальным отражением относительно нуля всех его весовых коэф-

фициентов.

В заключение укажем, какие необходимо провести изменения в

предложенной процедуре, если вероятностные представления о

рынке самого рынка и инвестора меняются местами. Этот случай

можно смоделировать, если приписать рынку и инвестору, напри-

мер, те же, что и ранее, распределения Exp(0,1) и Exp(0,_) соответст-

венно, только на этот раз положить _ > 1. Все формулы оценки

плотностей вероятности для рынка и инвестора сохраняют силу.

Равно как и формула, выражающая отношение правдоподобия этих

оценок. Однако теперь отношения правдоподобия для разных "внут-

ренних" страйков в силу _ > 1 имеют обратный по сравнению с

прежним порядок, а именно

__1,2,_ ,2m _1__ _0,1,_1,_ ,m _ 2,_m _ 2,m _1,_m _1_.

В этом отображении мы выбираем в точности обратный поря-

док к представленному формулой (40), хотя здесь вновь можно было

бы воспользоваться произволом, проистекающим из равенства отношения правдоподобия в симметричных относительно нуля точках.

Последовательность "вероятностей" инвестора k, k  I_, вновь опре-

деляется с помощью формул (38) и (39), но на этот раз суммирова-

ние вероятностей начинается от центра распределения к краям, как

того требует отображение _. Выписывание необходимой для ее вы-

числения рекуррентной процедуры, аналогичной случаю _ < 1, мы

опускаем. Далее, как и прежде, проводится вычисление весовых ко-

эффициентов Bk, k  I_, для новой последовательности k. Таким об-

разом, построение портфеля завершается.