Авторы: 147 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги:  180 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


загрузка...

2.2. Алгоритм построения приближенно оптимального портфеля инвестора на реальном рынке

На реальном рынке при необходимости можно воспользовать-

ся любой из четырех предложенных оценок плотности вероятности

цены актива в зависимости от цели инвестирования.

Допустим, что мы получили рыночную оценку плотности ве-

роятности ~fm (i) , i  I. Инвестор, имея свое представление о плот-

ности вероятности ft(x), x  R, может найти теоретические цены оп-

ционов колл и пут по формулам (1) и (2) и затем преобразовать их в

оценки ~ft (i) по любой из формул (19), (20), (24), (25). Поскольку в

основе такого преобразования при любом варианте расчета второй

разности используется одна и та же плотность вероятности ft(x), ре-

зультат получается один и тот же.

Далее в соответствии с алгоритмом из [2] и критерием Нейма-

на-Пирсона [3] образуем отношение правдоподобия

~ ( )

~ ( )

~( )

f i

f i

L i

t

m

_ , i_ I , (27)

и упорядочиваем все страйки из множества I по убыванию этого от-

ношения. Обозначим через _ взаимооднозначное отображение мно-

жества I на множество I_ = {1,2,., n.2}, отвечающее устанавливае-

мому отношением (27) порядку во множестве I, т.е.

L~__(k)_ _ L~__(l)_, если k _ l . (28)

(Если отношение правдоподобия в двух точках совпадает, то выбор

порядка в перестановке для этих точек произволен.) Обратное к _(i),

i  I_, отображение обозначим _. Оно взаимооднозначно отображает

I_ на I, и для него тождественно по i  I выполняется _(_(i)) = i.

Теперь нам предстоит строить портфель опционов, наилучшим

образом отражающим интересы инвестора. Инвестора, как и в [2],

будем характеризовать функцией B() из континуальной модели

VaR, что означает намерение инвестора обеспечить выполнение не-

Равенств при этом предпочтение отдается меньшим значениям , т.е. удовле-

творять эти неравенства нужно, начиная с  = 0 и продвигаясь в сто-

рону больших значений по возможности вплоть  = 1.

При построении портфеля в качестве "строительных блоков"

будем использовать инструменты, которые соответствуют способам

получения оценок плотности вероятности из стоимостей опционов

(см. формулы (19), (20), (24), (25)). Эти инструменты можно назы-

вать "вторыми разностями" опционов в точках, соответствующих

страйкам, и обозначать G(i).

В качестве иллюстрации воспользуемся представлениями (19)

и (24). Так, страйку Ei, i  I, в соответствии с формулой (19) сопос-

тавим инструмент, состоящий из двух длинных опционов колл со

страйками Ei.1 и Ei+1 и двух коротких опционов колл со страйком Ei,

а в соответствии с формулой (24) . из одного длинного опционов пут

и одного длинного опциона колл со страйками Ei.1 и Ei+1 соответст-

венно, двух коротких опционов колл и пут со страйком Ei и одного

длинного безрискового актива в количестве h.

Оба эти инструмента фактически определяются одной и той же

платежной функцией и являются баттерфляем . комбинацией

длинного стрэнгла и короткого стрэддла. Поскольку в нашей задаче

каждый такой инструмент G(i) означает комбинацию опционов с

тремя соседними страйками, его будем называть элементарным

баттерфляем.

Если суммировать инструменты G(i) с некоторыми весовыми

множителями, можно получать самые разнообразные инструменты.

Под инструментом G(Y), где Y . произвольное подмножество I, по-

нимается портфель из инструментов G(i), соответствующих страй-

кам Ei, i  Y, каждый в единственном числе. Очевидно, он является

дискретным аналогом инструмента "индикатор множества".

В соответствии с (27) и (28) построим систему подмножеств Xk

множества I по правилу

X k _ (1), (2),..., (k)_ _ _ _ _ , k _I_ .

Рассмотрим возрастающую последовательность критических

доходов Bk, k  I_, которая получается из возрастающей функции

B() по следующему правилу. Сопоставим каждому страйку Ei "ве-

роятность" инвестора h ~ft (i) . Тогда множеству Xk будет отвечать

"вероятность" инвестора

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _

k

k Pt Xk h i ft i 1 ~ ~ ( ) , k _I_ . (30)

Положим теперь

Bk _ B__k _ , k _I_ , (31)

и рассмотрим инструмент

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 0 2 1 1 ... 2 3 3 _ _ _

_ _ _ _ _ _ G B G X B B G X Bn Bn G Xn

(сумма инструментов определяется как инструмент, отвечающий

сумме платежных функций складываемых инструментов).

Перепишем равенство, по-иному группируя слагаемые:

1 _ (1)_ 2 _ (2)_ ... 2 _ ( 2)_ _ _ _ _ _ _ _ _

_ G B G B G Bn G n . (32)

Таким образом, мы получаем, что предпочтениям инвестора

отвечает взвешенная сумма инструментов G(i), причем именно весо-

вые коэффициенты характеризуют его предпочтения. Как и в [2],

можно сказать, что чем более круто растет функция B() в окрестно-

сти  = 1 (или последовательность Bk вблизи k = n.2), тем меньше

проявляет инвестор нерасположенность к риску, и наоборот.

Если B1 является отрицательной величиной, то это значит, что

инвестор использует короткие позиции по инструментам, соответст-

вующим реализациям цены актива с относительно небольшими с его

точки зрения вероятностями, с тем чтобы вырученные от этого сред-

ства направлять на приобретение инструментов, соответствующих

реализациям цены актива с относительно большими вероятностями,

что также говорит о его большей расположенности к риску.

Если раскрыть содержание "строительных блоков" в (32), то

можно получить выражение инструмента G непосредственно через

опционы колл или пут. Так, например, используя (19) и (21), форму-

лу (32) преобразуем к виду

_ _ _ _ _ _ __

_ _ _ _ _ _ __

_ _ ( 2) 1_ 2 _ ( 2)_ _ ( 2) 1__.

(2) 1 2 (2) (2) 1

(1) 1 2 (1) (1) 1

2

2

1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _

_ B n n n

B

B

n C C C

C C C

G C C C

_

_ (33)

Перепишем полученную формулу, группируя слагаемые, соот-

ветствующие одному и тому же страйку. Кроме того, воспользуемся

обратным к _ отображением _. В результате равенство (33) приоб-

ретает вид

_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _

_ _ _ _ _ _ __ _ _

_ _ ( 2)_ 2 _ ( 1)__ _ 1_ _ ( 1)_ _ _.

( 1) 2 ( ) ( 1)

(2) 1 (3) 2 (2) 2

2

3

B n B n n B n n

B i B i B i i

B B B

n

i

C C

C

G C C

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _

_ _

_ (34)

Это представление портфеля инвестора можно считать оконча-

тельным. В общем случае "оптимальный" инструмент инвестора

оказывается комбинацией всех имеющихся на рынке опционов колл

(или пут). При этом в короткой позиции оказываются опционы со

страйками, доставляющими наименьшие значения отношению прав-

доподобия (27).

Точно так же мы можем получить аналогичную формулу,

дающую представление инструмента G в терминах путов. Она полу-

чается простой заменой в (34) обозначения C опциона колл обозна-

чением опциона пут P, т.е.

_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _

_ _ _ _ _ _ __ _ _

_ _ ( 2)_ 2 _ ( 1)__ _ 1_ _ ( 1)_ _ _.

( 1) 2 ( ) ( 1)

(2) 1 (3) 2 (2) 2

2

3

B n B n n B n n

B i B i B i i

B B B

n

i

P P

P

G P P

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _

_ _

_

Теоретически, этот инструмент должен иметь ту же стоимость,

что и инструмент (34). Но на реальном рынке это не обязательно так.

Применяя представления инструмента G с помощью различных смешанных вторых разностей, можно получить и другие формулы с

одновременным участием и коллов, и путов. Такое построение мы

проделаем несколько ниже лишь для одного частного случая, в зна-

чительной мере соответствующего картине реального рынка.

В случае простой структуры системы множеств Xk, например,

когда для каждого k множество Xk получается из Xk.1 присоединени-

ем одного из соседних к множеству Xk.1 страйка, этой формуле мож-

но было бы придать более наглядный вид. Однако в каждом кон-

кретном случае такое представление лучше получать непосредст-

венно по предложенной схеме.

Переходим к рассмотрению случая, представляющего интерес

при практической реализации методики, когда множество всех

страйков разделено на две группы страйком с индексом a . Ea. При

этом лишь для этого страйка на рынке присутствует и опцион колл,

и опцион пут. Для остальных страйков . опцион лишь одного типа.

При i > a есть только коллы, при i < a . только путы.

В рассматриваемом случае при образовании "вторых разно-

стей" у инвестора выбора нет. При i > a эти инструменты строятся

исключительно из коллов в соответствии с (19), при i < a . из путов

(равенство (20)), а при i = a . из тех и других по формуле (24), что

означает использование при i = a наряду с коллами и путами также

безрискового актива в объеме h.

Поэтому "оптимальный" портфель инвестора принимает вид

_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _

_ _ _ _ _ _ __ _ _

_ _ _ _ __ _ _ _ _

_ _ _ _ __ _ _

_ _ _ _ _ _ __ _ _

_ _ ( 2)_ 2 _ ( 1)__ _ 1_ _ ( 1)_ _ _.

( 1) 2 ( ) ( 1)

( 1) ( )

( 1) ( ) ( )

( 1) 2 ( ) ( 1)

(2) 1 (3) 2 (2) 2

2

1

1

3

B n B n n B n n

B i B i B i i

B a B a a

B a B a a hB a

B i B i B i i

B B B

n

i a

a

i

C C

C

C

P

P

G P P

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _

_

_

_

_ _

_

_

(35)

Рыночная стоимость этого инструмента наименьшая при вы-

полнении ограничений (29). Эта стоимость получается, если все

входящие в сумму инструменты оцениваются по рынку, т.е. если все

вхождения P(i) и C(i) в последней формуле заменить Pm(i) и Cm(i)

соответственно. В результате мы получим рыночную стоимость Gm

единичного инструмента G, и чтобы инвестировать в этот инстру-

мент сумму A, необходимо приобрести A/Gm таких инструментов.

Если же в качестве стоимости слагаемых инструментов вста-

вить в формулу оценки инвестора Pt(i) и Ct(i), то мы получим пред-

полагаемый доход Gt инвестора от вложения в инструмент G с точки

зрения самого инвестора и общий его доход от вложения суммы A в

этот инструмент равный AGt/Gm.