Авторы: 147 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги:  180 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


загрузка...

2.1. Дискретный по страйкам рынок опционов

Рассмотрим рынок опционов, на котором действуют естест-

венные ограничители, и потому на нем присутствуют опционы лишь

для конечного множества страйков. Эти страйки пронумерованы в

возрастающем порядке и отстоят друг от друга на величину h. Вве-

дем необходимые обозначения. Рассматривается множество n страй-

ков Ei, iI’, и для определенности положим I’ = {1,2,.,n}. Иногда, и

так будет в приводимом ниже примере, удобнее вводить иную нуме-

рацию множества страйков. Наряду с множеством I’ будем рассмат-

ривать и подмножество его "внутренних" точек I = {2,3,.,n.1}, а

также множество I_ = {1,2,.,n.2} с тем же, как у множества I, коли-

чеством элементов. Множество I_ применяется далее при установле-

нии определенного порядка во множестве I.

Сначала предположим, что на рынке присутствуют все указан-

ные страйки как для опционов колл, так и для опционов пут. В даль-

нейшем мы сделаем более реалистичные предположения. Для удоб-

ства опционы колл и пут со страйком Ei будем обозначать C(i) и P(i)

соответственно, а их цены . C(i) и P(i). Индексами m и t будем помечать все введенные рыночные характеристики с точки зрения са-

мого рынка и инвестора соответственно.

В дискретном случае наряду с плотностями вероятности f(x)

будем рассматривать их оценки. В связи со свойством (7) эти оценки

естественно задавать в виде вторых разностей либо цен опционов

колл, либо цен опционов пут. Поэтому они задаются для всех рас-

сматриваемых точек Ei за исключением двух крайних, соответст-

вующих значениям i = 1, n, поскольку для них вторая разность не

определена. Оценку плотности вероятности в точке Ei обозначим

~f (i) . Итак, либо

( )

1

~( )

2 2 C i

h

f i _ _ , i_ I , (19)

либо

( )

1

~( )

2 2 P i

h

f i _ _ , i_ I , (20)

где

2 ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) _ H i _ H i _ _ H i _ H i _ . (21)

В теоретической конструкции оба выражения (19) и (20) долж-

ны давать один и тот же результат, на реальном рынке эти характе-

ристики могут различаться, хотя и незначительно.

Основное свойство плотности вероятности гласит, что инте-

грал от нее по всей вещественной прямой равен 1. Этому свойству

должно отвечать аналогичное свойство для оценки плотности веро-

ятности (19) или (20). А именно, суммирование (19) по всем i  I с

предварительным умножением на h (элемент вероятности равен

произведению плотности вероятности на длину интервала) дает

_ _

_ (0) (1) ( ) ( 1)_ ( 1) (0) 1.

1

( 1) 2 ( ) ( 1)

1

~( )

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

C C C n C n C n C

h

C i C i C i

h

f i h i I i I

(22)

В последнем равенстве используется свойство (4), а также не-

значительность вероятности превышения ценой базового актива по

абсолютной величине уровня крайних страйков.

Аналогичное соотношение имеет место и для представления

(20) (при этом используется свойство (5)):

_ _

_ (0) (1) ( ) ( 1)_ ( 1) (0) 1.

1

( 1) 2 ( ) ( 1)

1

~( )

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P P P n P n P n P

h

P i P i P i

h

f i h i I i I

(23)

Из свойства (6) для производных цен опционов колл и пут по

страйку следует, что для всех i  I

C(i _1) _ C(i) _ h _ P(i _1) _ P(i) .

Поэтому, а также в силу того, что вторая разность является

первой разностью двух соседних первых разностей, мы получим,

заменяя одну из первых разностей для колла разностью для пута и

наоборот, еще два возможных представления оценки плотности ве-

роятности, а именно, для всех i  I

_C i C i _P i P i h__

h

f i _ ( _1) _ ( ) _ ( ) _ ( _1) _

1

~( )

2 (24)

и

_P i P i _C i C i h__

h

f i _ ( _1) _ ( ) _ ( ) _ ( _1) _

1

~( )

2 . (25)

Рассмотрим и вариант смешанного представления, который

важен для реального рынка. Разделим множество всех страйков на

две группы страйком с индексом a . Ea. Лишь для этого страйка при

образовании второй разности используем и опцион колл, и опцион

пут, причем по формуле (24). При i > a используем __________только коллы,

при i < a . только путы. Этот пороговый индекс a обычно распола-

гается примерно в середине множества I.

Тогда вместо формул (22) и (23) будем иметь

22

_ _

_ _

_ _

_

_

_ _

_ _

( 1) (0) 1 1.

(0) (1) ( ) ( 1)

1

( 1) ( ) ( ) ( 1)

1

( ) ( 1) ( ) ( 1)

(0) (1) ( 1) ( )

1

( 1) ( ) ( ) ( 1)

1

( 1) ( ) ( 1)

1

( 1) 2 ( ) ( 1)

1

~( )

_ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _

_

_ _

_

_ _

C n P

P P C n C n h

h

C a C a P a P a h

h

C a C a C n C n

P P P a P a

h

C a C a P a P a h

h

C i C i C i

h

P i P i P i

h

f i h

i a

i I i a

(26)

Таким образом, теоретически, не имеет значения, какую из

вторых разностей мы используем. Получающиеся оценки эквива-

лентны. Однако иное дело . реальный рынок. Реальные цены оп-

ционов могут не удовлетворять основным свойствам вероятностных

распределений. Определяющими здесь могут быть три фактора. Во-

первых, это просто игра случая; во-вторых, сказываются более

сложные взаимоотношения риска с доходностью инструментов; в-

третьих, процентная ставка не равна нулю.

Проще всего было бы предположить, что нарушение соотно-

шений (22), (23) или (26) обусловлено действием третьего фактора.

Тогда можно было бы ввести в модель при определении цен опцио-

нов корректирующий множитель с тем, чтобы упомянутые соотно-

шения выполнялись. К сожалению, реальность сложнее. Однако все

эти вопросы остаются за рамками данного исследования.

Итак, мы будем принимать, что приближенное равенство еди-

нице суммы оценок вероятностей по всем страйкам, какие бы вари-

анты вторых разностей для этого ни использовались, имеет место,

т.е. соотношения (22), (23) или (26) выполняются.