1.3. Примеры построения оптимального портфеля инвестора на континуальном по страйкам рынке

Рассмотрим модель рынка и инвестора, в основе которой лежат

предположения и конструкции примеров 2 и 3 из работы [2]. В них

для инвестора и рынка используются распределения вероятностей

цены актива, относящиеся к одному и тому же типу, а именно к час-

то используемому на финансовых рынках (см., например, [4]) дву-

стороннему двухпараметрическому экспоненциальному распределе-

нию Exp(_,_) с произвольным параметром _ и _ > 0:

при этом распределения вероятностей для инвестора и рынка разли-

чаются параметрами.

Как следует из изложения приведенной выше теории, в данной

работе для нас важны не сами распределения, а цены опционов

(колл и пут), как для рынка, так и для инвестора. Но вычисляться эти

цены должны именно по этим распределениям.

Снова для упрощения записи математические ожидания обоих

распределений принимаются равными нулю (_ = 0), что никак не

влияет на содержательность результатов, так как имеет значение

лишь взаимное расположение распределений на оси цен.

Стоимость опциона колл для распределения с плотностью (13),

где _ = 0, составляет

_ _

_

_

_ _

_

_

_ _ _

_

_

_

_ _

_

_

               

                                 _ E E

E

C E exp

2

1

( ;0, ) .

Будем считать, что рынку отвечает распределение Exp(_,1), а

инвестору . Exp(0,_). Зададимся однопараметрической функцией

критических доходов

(_; ) _ _ , _ _ 0 _ B b b cr ,

заданной для всех   [0,1]. Эта функция не допускает получения

отрицательных доходов и является упрощенной версией функции

критических доходов инвестора, рассмотренной в примере 3 из [1].

Кроме того, перед инвестором задача максимизации среднего

дохода не стоит, т.е. всю сумму инвестиции он направляет на вы-

полнение ограничений, и, значит, должно выполняться равенство

(см. [1])

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ 1

0

1

0

A Bcr ( ;b) d ( ) b d ( ) ,

поэтому

_ _ _ _ _

_ 1

0

b A d ( ) . (14)

Сначала рассмотрим случай _ < 1, т.е. инвестор полагает, что

рынок более волатильный, чем считает большинство его участников.

В соответствии с процедурой Неймана-Пирсона получаем се-

мейство множеств

__

__ _

__

__ _

                 _ _

_

_  c

Z c x x ln

1

( ) , (15)

14

с помощью которого для каждого   [0,1] из условия  = Pt{Z(c)}

(вероятность инвестора) находим критическое множество

X (_) _ _x x _ __ln __,

т.е. параметр  связан с граничными ценами x и .x этого множества

соотношением

_ _ _

_

_

_

_ _

_

_

_

                 _

x

x exp . (16)

Проинтегрировав рыночную плотность fm(x) по множеству

X(), получаем его рыночную вероятность

__ _

__ _

_ _ _

_

_

__

_

 _ _ _      ln 2

exp

2

1

( ) 2 du u

, [0,1].

Далее, интегрирование в равенстве (14) дает

_ _

_

_ _ _

b _ A ,

и с учетом (16) мы приходим к формуле

_ _ _ _ _ _

_

_

_ __

_

_

_

               

_

_  _

g(x) _ Bcr _ x _ A exp x .

Из платежных функций известных простых опционных комби-

наций эту функция в наибольшей степени напоминает платежная

функция баттерфляя. Напомним, что в финансовой литературе

баттерфляем называют симметричную по страйкам комбинацию

длинного стрэнгла и короткого стрэддла (см., например, [1,5]). Ана-

логичную комбинацию с коротким стрэнглом и длинным стрэддлом

называют сэндвичем (или обратным баттерфляем).

Фактически, баттерфляй с подходящим сочетанием страйков и

объема позиции можно рассматривать как первое приближение к

искомой платежной функции g(x) оптимального портфеля. В дейст-

вительности баттерфляю соответствует кусочно-линейная платеж-

ная функция, состоящая из двух отрезков и двух бесконечных лучей.

Но такой инструмент лишь приближенно отражает интересы инве-

стора.

Для нашей задачи, конечно, одного баттерфляя недостаточно.

Какую именно комбинацию опционов следует использовать нашему

инвестору, зависит от конкретного вида функции g(x). Заметим, что

функция g(x) непрерывна, но имеет излом в нуле, при этом (вводит-

ся обозначение _ = _/_)

g_0_ _ A_1_ __,

g___ 0__ _A__1_ __.

Поэтому здесь работает представление (11) с              = 0:

_ _ _ _ _ _ __ _ _

_ _exp_ _ _ _exp_ _ .

(0) 0 0 0 1

0

0

2

__

_ _ _ _ _

_

                 _

_ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _

__

x x dx x x dx

g g A

P C

G U P C

Подставляя значение платежной функции и абсолютное значе-

ние ее производных в нуле, получаем

_ ___ _ _ _ _ __

_ _exp_ _ _ _exp_ _ .

1 0 0

0

2 0

__

_

__

_ _ _       

_

                 _ _ _

                 _ _ _                    

_ _ _

__

x x dx x x dx

A

P C

G U P C

Это и есть представление оптимального портфеля инвестора

при _ < 1 в виде континуальной комбинации опционов.

Если _ > 1, то формулы видоизменяются. В этом случае проце-

дура Неймана-Пирсона дает семейство множеств по c, с точностью

до граничных точек дополнительных к (15):

__

__ _

__

__ _

                 _ _

_

_  c

Z c x x ln

1

( ) .

Для каждого [0,1] из условия  = Pt{Z(c)} мы получаем, что

X (_) _ _x x _ __ln_1_ ___,   [0,1],

т.е. параметр  связан с граничными ценами x и .x этого множества

соотношением

_ _ _

_

_

_

_ _

_

_

_

                 _ _

x

x 1 exp . (17)

Проинтегрировав рыночную плотность fm(x) по множеству

X(), получаем его рыночную вероятность

_ _ __ __ _ _ _ _ _ _

_

_

__

               

 _ _ _ _ 1 (1 )

2

exp

2

1

( ) 2 ln 1

0

du

u

, [0,1].

Далее, интегрирование в равенстве (14) дает для параметра b функ-

ции Bcr(;b) выражение

_ _

_ 1_ _ 1_

1

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _

b _ A , (18)

где _ _ __

__ _ _ _ _

0

x 1e xdx . гамма-функция, _ > 0. Поэтому с учетом

(17) мы приходим к выражению для платежной функции

_ _ __

_ _

_ _ _ _

_

_ _

_

_

_ _

_

_

_ _

_

_

_ _

_

_

_

_ _

 _              _          

 _             _           

_  _

x

g x Bcr x A 1 exp

1 1

1

( ) .

Функция g(x) снова непрерывна и g(0) = 0, но ее производная в

нуле зависит от значения параметра _, а именно

_ _

__

__

_

_ _ _ _

_  _       

_ _

_ _        

, 1,

, 1,

0, 1,

g 0 b

здесь и ниже до конца раздела b определяется по формуле (18).

Если _ > 1, то платежная функция в нуле имеет непрерывную и

равную нулю производную, каждая ее ветвь в окрестности нуля вы-

пукла, а затем после точки перегиба и до бесконечности . вогнута.

Такая функция больше напоминает платежную функцию комбина-

ции двух стрэнглов, одного длинного и одного короткого. При этом

страйки обоих стрэнглов расположены симметрично относительно

нуля, а страйки длинного стрэнгла ближе к нулю, чем страйки ко-

роткого. Эти платежные функции свойственны более расположен-

ным к риску инвесторам.

Если _ = 1, функция g(x) имеет излом в нуле, и в этом случае

она в большей степени напоминает платежную функцию сэндвича в

сочетании с длинным безрисковым активом.

Однако и при _ > 1, и при _ = 1 упомянутые инструменты даже

с наилучшим образом подобранными страйками и объемом позиции

можно рассматривать лишь как первое приближение к искомой пла-

тежной функции g(x) оптимального портфеля. Их явно недостаточ-

но, чтобы точно отразить интересы нашего инвестора, которые мы

условились описывать функцией Bcr(;b).

Следуя рекомендациям развиваемой теории, можно воспользо-

ваться представлениями оптимального портфеля, приведенными

выше. В обоих случаях можно снова применить представление (11).

Имеем

_ _ _ _ _ _ __ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ ,

(0) 0 0 0

0

0

2

__ _

_ _

_

_              _

 _ _ _ _ _            

_ _ _

__

x s x dx x s x dx

g g b

P C

G U P C

где для всех x _ 0

_ _ _

_

_

_

_ _

_

_

_

_ _ _

_

_

_ __

_

               

_ _ _

_

_

_ __

_

               

_ _

_

_

_

_ _

_

_

_ __ _

_ __

_

               

 _ _

__ 1

1 exp exp exp

2 x x x

s x .

Теперь в соответствии со значениями параметра _ подставим в

это представление портфеля конкретный вид функции g(x). При

_ > 1 в этом представлении все неинтегральные слагаемые обраща-

ются в ноль, и оно приобретает вид

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_

_ _ _

_

_ _          _ _ _ _

__ 0

G b 2 0 P x s x dx C x s x dx ,

а при _ = 1 .

_ __ _ _ _ __ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ .

0 0

0

0

2

__ _

_ _

_

_              _

_ _ _  _ _ _        

_ _ _

__

x s x dx x s x dx

b b

P C

G P C

В последнем случае _ < 1 функция g(x) имеет особенность типа

"острие" и она походит на платежную функцию безрискового актива

с выколотой нулевой ценой актива. В работе [2] отмечалось, что

значение _ < 1 соответствует нерасположенному к риску инвестору,

поэтому такой вид платежной функции не должен вызывать удивле-

ния.

В этом случае производная функции g(x) в нуле бесконечна и

представление (11) теряет смысл. Поэтому вместо него следует ис-

пользовать представление (12) и учесть, что g(0) = g’(._) =

g’(+_) = 0. Имеем

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_

_

__ _

_              _ _ _ _ _ _ _

__ 0

G b 2 0 P x P 0 s x dx C x C 0 s x dx .

Эта формула дает представление оптимального портфеля инве-

стора в случае _ < 1 и _ < 1 в виде континуальной смешанной ком-

бинации опционов колл и пут.

Предложенный подход к построению оптимального портфеля

тем не менее носит во многом теоретический характер, хотя мы и

пытались отразить в наших представлениях портфеля рыночные

реалии. При его использовании мы получаем континуальные комби-

нации опционов. Для решения проблемы континуума на практике

достаточно будет интегралы заменить интегральными суммами, и в

нашей задаче точками деления вещественной прямой надо будет

выбрать именно рыночные страйки. Однако проблемы остаются. И

связаны они с отсутствием полной и достоверной информации о ры-

ночном распределении вероятностей будущей цены базового актива.

К решению подобных проблем мы и переходим.