1.2. Репликация произвольного обобщенного опциона портфелем стандартных опционов колл и пут

Здесь и далее мы будем для простоты записи формул прини-

мать r = 1, т.е. считать безрисковую ставку равной нулю. Если она

не равна нулю, то в нижеследующих формулах достаточно перед

знаками интегралов ввести необходимый множитель.

Пусть на (теоретическом) рынке торгуются опционы колл и

пут для всех страйков из множества всех вещественных чисел R. На-

ряду с этими опционами будем рассматривать и производные от них

инструменты. Так, "первой производной" опциона колл назовем ин-

струмент C’(E), платежная функция которого c’(x,E) = _(x,E), где _ .

характеристическая функция множества {x| x>E}. Этот инструмент

можно рассматривать как предел инструмента (C(E+_E) . C(E)) / _E

при _E _ 0. Отметим, что в числителе стоит инструмент, являю-

щийся коротким вертикальным спредом быка.

Аналогично "первой производной" опциона пут назовем инст-

румент P'(E), платежная функция которого p’(x,E) = 1 . _(x,E), т.е.

равна характеристической функции множества {x| x_E}. Этот инст-

румент также можно рассматривать как предел инструмента

(P(E+_E) . P(E)) / _E при _E _ 0. Здесь также в числителе стоит

вертикальный спред, но на этот раз длинный вертикальный спред

медведя.

Строго говоря, введение таких инструментов, как "первые про-

изводные" опционов, оправдано лишь с теоретической точки зрения:

на реальном рынке их точное воспроизведение невозможно. Наи-

лучшим рыночным приближением к таким инструментам могут

служить подходящего объема (элементарные) вертикальные спреды,

образованные соседними страйками.

Введем еще в качестве инструментов "вторые производные"

опционов колл и пут, платежные функции которых совпадают меж-

ду собой и равны _(x;E) (дельта-функции относительно E). Эти ин-

струменты можно рассматривать как пределы инструментов

(C'(E+_E) . C'(E)) / _E и (P'(E+_E) . P'(E)) / _E при _E _ 0 и обо-

значать C''(E) и P''(E) соответственно. Их можно рассматривать

также (если раскрыть содержание "первых производных") как пре-

делы при _E _ 0 инструментов (C(E+2_E).2C(E+_E)+C(E)) / (_E)2

и (P(E+2_E).2P(E+_E)+P(E)) / (_E)2 соответственно.

Если g(x) . платежная функция инструмента G, который мы

желаем синтезировать из опционов колл, то, как следует из работы

[5], представление соответствующего этой функции портфеля оп-

ционов колл в случае, если g(._) ограничено, можно задать в виде

_ _ _ _

__

G _ g _ _ U _ g_(x)C_(x)dx .

Если ограничено g(+_), то аналогом предыдущего будет слу-

жить иное представление

_ _ _ _ _ _

__

G _ g _ _ U _ g_(x) C_(x) _U dx .

Здесь и далее U означает безрисковый актив единичного объе-

ма. Если g(._) (или g(+_)) принимает бесконечное значение, первое

(или второе) представление теряют смысл. Однако всегда можно

подобрать представление, лишенное такого недостатка. А именно,

если g( ) конечно для некоторого          R, то имеет место

_ _ _ _ _ _ _

_

_

__

G _ g _ U _ g_(x) C_(x) _U dx _ g_(x)C_(x)dx . (8)

Ниже мы предложим и другие представления, более подходя-

щие для наших целей и также подобной проблемы не создающие.

Аналогичные представления портфеля с помощью одних лишь

опционов пут даются соотношениями

_ _ _ _ _ _

__

G _ g _ _ U _ g_(x) U _ P_(x) dx ,

_ _ _ _

__

G _ g _ _ U _ g_(x)P_(x)dx .

Кроме того, снова задаваясь некоторым           R с конечным значением

g(            ), получаем также

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_

_

__

G _ g _ U _ g_(x)P_ x dx _ g_(x) P_ x _U dx . (9)

Вместо формул (8) и (9), дающих представление портфеля

только через коллы или только через путы, можно записать и экви-

валентное им смешанное представление с одновременным участием

и коллов, и путов:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_

_

__

G _ g _ U _ g_ x P_ x dx _ g_ x C_ x dx . (10)

Последний вариант представления предпочтительнее тем, что

на рынке обычно присутствуют именно путы с низкими страйками и

коллы с высокими страйками. Кроме того, стоимость пута и ее про-

изводная стремятся к нулю на отрицательной бесконечности, а

стоимость колла и ее производная . на положительной.

Все предложенные представления портфеля G относятся к пер-

вому типу представлений, которые выражают портфель в виде инте-

гралов от "первых производных" опционов. Преобразуя портфель с

помощью интегрирования по частям и используя свойства опцио-

нов, можно получить еще два типа представления на основе только

"вторых производных" опционов или только самих опционов.

Во втором типе представлений используются "вторые произ-

водные" опционов колл и пут:

_ _ _

__

_

__

G _ g(x)C__(x)dx _ g(x)P__(x)dx .

Они удобны тем, что требуют минимальных ограничений на пла-

тежную функцию. При этом также может быть использован вариант

смешанного представления, а именно

_ _ _

_

_

__

G _ g(x)P__(x)dx _ g(x)C__(x)dx .

И, наконец, третий тип представлений

_ _ _ _ _ _ _

__

_

__

G _ g __ U _ C(x)dg_(x) _ g __ U _ P(x)dg_(x)

справедлив, если g(x) непрерывная и кусочно-дифференцируемая

функция, а g(._) (или g(+_)) ограничено. Эти представления инте-

ресны тем, что они дают портфель в терминах самих опционов, что

удобно для непосредственного задания рыночного портфеля опцио-

нов.

И для третьего типа рассматриваются варианты смешанного

представления портфеля опционов. Если исходить из соотношения

(10), но провести интегрирование по частям по-иному, внося под

знак дифференциала "первые производные" опционов, то будем

иметь представление

_ _

_ ( ) ( ) ( ) ( )_ ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

|

|

_

_

_

_

_

_

_

__

_

__

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _

g x x g x x x dg x

g x x g x x x dg x

C C C

G P P P

Если теперь учесть поведение опционов на бесконечности, а

также предположив, что производная функции g(x) при x _ __ ог-

раничена, то оказывается, что оба проинтегрированных выражения в

скобках при бесконечных значениях x обращаются в нуль. Применяя

еще свойство (6) опционов, получаем

_ _ _ _

( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( 0) ( 0)

_ _ _

_

_

__

_ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

x dg x x dg x

g g g

P C

G U P C

(11)

Последнее выражение снова дает представление инструмента в

терминах самих опционов колл и пут, что может быть непосредст-

венно использовано на рынке при составлении реплицирующего

портфеля.

Если производная функции g в точке                  непрерывна, то послед-

нее равенство приобретает более простой вид

_ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _

_

_

__

G _ g _ U _ g_ _ P _ _ C _ _ P(x)dg_(x) _ C(x)dg_(x) .

Полученную формулу часто имеет смысл рассматривать в ва-

рианте                 = _. Следует, однако, отметить, что хотя в точке _ стоимо-

сти колла и пута совпадают, т.е. P(_) = C(_), сами инструменты раз-

личаются. Поэтому второе слагаемое в правой части формулы не

равно нулю.

Несмотря на кажущуюся необременительность условий, при

которых получено последнее выражение, в теоретическом отноше-

нии для ряда интересных случаев они оказываются невыполнимыми.

Это происходит, когда производная g’(x) в точке x =                 обращается в

бесконечность. В частности, так обстоят дела с двусторонним экс-

поненциальным распределением, с которым мы уже встречались в

примерах 2 и 3 из [2]. В одном варианте построения оптимального

портфеля на основе этого распределения вероятностей, рассматри-

ваемом ниже, последнее представление оказывается непригодным.

Для таких случаев окажется полезным следующее представле-

ние, учитывающее возможность бесконечности первой производной

функции g в точке          (при его выводе с помощью интегрирования по

частям образуются вспомогательные комбинации инструментов

C(x) . C(               ) и P(x) . P(         )),

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _. _

_

_

__

_ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

x dg x x dg x

g g g

P P C C

G U P C

(12)

В этом представлении портфеля снова используются сами оп-

ционы колл и пут, что делает его удобным при его применении к

реальному рынку.