1.1. Свойства опционов на однопериодном рынке

Рассматривается однопериодный рынок, на котором обраща-

ются безрисковый актив, рисковый актив (акции) и опционы колл и

пут на этот актив. Иногда под однопериодным рынком имеют в виду

рынок, на котором исполнение опционов однократно на рассматри-

ваемом интервале времени, но при этом динамика цен активов и

процесс принятия решений о переформировании портфелей непре-

рывны. Мы же здесь под однопериодным рынком понимаем совсем

простую временную конструкцию, охватывающую всего лишь два

момента времени . начало и конец периода. Именно на ней мы по-

пытаемся прояснить особенности взаимоотношений инвестора и

рынка.

Опционом колл со страйком E называют инструмент C(E) с

платежной функцией c(x; E) = max(0, x.E), а опционом пут . инст-

румент P(E) с платежной функцией p(x; E) = max(0, E.x). В начале

периода цена базового актива равна _0. Цена актива в конце периода

является случайной величиной с плотностью вероятности f(x) и

функцией распределения F(x), которым соответствует среднее _. В

теоретической конструкции нам будет удобно допускать и отрица-

тельные значения этой случайной величины (с малой вероятностью).

Безрисковый относительный доход принимается равным r (т.е. без-

рисковая доходность равна r . 1). Будем считать рынок нейтраль-

ным к риску, и потому должно быть _ = r _0.

На таком рынке стоимость в начале периода опциона колл со

страйком E определяется равенством

(В работе применяется одно и то же обозначение как для самого ин-

струмента, так и для его цены на начало периода, но различие между

ними отмечается использованием полужирного шрифта для инстру-

мента.)

Последние равенства в формулах (1) и (2) справедливы, если

функция распределения F(x) при x _ __ достаточно быстро стре-

мится к своим предельным значениям, что мы и будем впредь пред-

полагать.

Имеет место также соотношение

_ _ _ _ _ _

( ) ( ) ,

1

max(0, ) max(0, ) ( )

1

0 r

E

r

E

r r

E

x E f x dx

r

x E E x f x dx

r

C E P E

_ _ _ _

_

_ _ _ _

_ _ _ _ _ _

_

_

_

__

_

__ (3)

которое можно интерпретировать как теорему паритета пут/колл.

Замечание. Если рынок не нейтрален к риску, проблема цено-

образования усложняется. Необходимо учитывать рисковые аспекты

инструментов. Дело в том, что в реальности стоимость опциона на

начало периода не является просто осредненным будущим доходом

в конце периода с коррекцией на ставку процента. Рисковые пред-

почтения инвестора вносят свою лепту в ценообразование опционов, повышая стоимость опционов при их значительных проигрышах.

Однако это не должно влиять на последующие выводы. Для инве-

стора важны не реальная плотность вероятности цены базового ак-

тива (оно остается неизвестным), а "наведенная" плотность, которая

получается как вторая производная опционов колл (или пут) с кор-

рекцией на процентную ставку. Именно эта плотность участвует в

оценке стоимости инструментов, используемых инвестором. Но

сейчас эти вопросы лежат в стороне от наших интересов. Наша

цель . предоставить инвестору средство использовать расхождения

во взглядах на вероятностные свойства будущей цены актива самого

рынка и инвестора.

Дифференцируя (1), (2) и (3), получаем

_ 1 ( )_ ( ) 1 F E

r

C_ E _ _ _ , (4)

r

P_(E) _ F(E), (5)

r

C_(E) _ P_(E) _ _ 1 , (6)

а также

r

f E

r

C (E) P (E) F (E) _ ( )

_

__ _ __ _ . (7)